【数学】10%皿型鏡板の形状解析

ボイラー化学機械

NEONEEETです。

10%皿型は高さが0.194D!

実際に計算したことありますか?

この記事は、化学工場の機電系設計者・プラントエンジニアを対象にしています。

この記事を読むと、10%皿型鏡板の形状解析ができます。

10%皿型鏡板の形状解析

今回の記事では、皿型鏡板の形状を解析します。

皿型鏡板は化学工場で非常によく使います。

加圧負圧下で運転する危険物タンクが多いからですね。

普通の角槽や円柱槽だと、大気圧より圧力を加えたり減らしたりするとすぐに変形します。

この皿形鏡板を使って容量計算や伝熱計算や放爆設計を行うときに、

皿型鏡板の計算が必要です。

実務上はメーカーのHPやカタログを見れば計算可能です。

計算式が与えられていますからね。

その計算式をブラックボックス的に扱うのではなく、数学の視点で解析しようというのが今回の試みです。

高校数学の範囲の話ですよ。

10%皿型鏡板の形状

10%皿型鏡板の形状を確認しましょう。

モデルは下のとおり。

0.194D

Rという大きな円とrという小さな円を重ね合わせた鏡形状をしています。

ここで、鏡直径Dに対して以下の関係性が提示されています。

  • R=D
  • r=0.1D
  • h=0.194D

この関係を図面上で確認したり容量計算をしたりするのが、化学工場の機械エンジニアの実務の1つです。

ところでこの

$$h=0.194D$$

ってどうやって導出されたかご存じですか?

答えられる人は意外と少ないはずです。

これが今回の記事のきっかけです。

Rとrの原点の関係

まずはRとrの関係を理解しておく必要があります。

数学的には以下の関係があります。

  1. Rとrは接点Aで接する
  2. 接点AでRの曲線とrの曲線は座標も傾きも同じ
  3. rの原点はRの原点と接点Aで結ぶ直線状にある
Rとrの位置関係

特に3番の「rの原点はRの原点と接点Aで結ぶ直線状にある」は意外に思うはずです。

これは鏡板のカタログなどには載っていません。

この関係が分かると、簡単にh=0.194Dが計算できてしまうから載せていないのでしょうか?

ちょっと不思議です。

鏡板の高さ

鏡板の高さを実際に調べてみましょう。

先ほどの「rの原点はRの原点と接点Aで結ぶ直線状にある」が効いています。

下の図を見てください。

座標

Rの原点Oを(0,0)としたx,y座標を考えます。

Rとrの接点Aの座標は\((D\cosΘ,D\sinΘ)\)です。これはΘの定義そのもの。

rと鏡直胴部の接点Bの座標は\((D\cosΘ+0.1D(1-\cosΘ),D\sinΘ-0.1D\sinΘ)\)です。

ちょっと分かりにくいですよね。

座標Aと座標Bの関係が、半径rの円で結ばれていることが分かれば、すぐに導出できます。

\(D(\cosΘ,\sinΘ)+0.1D(1-\cosΘ,\sinΘ)\)と書く方が見やすいですね。

シンプルな関係です。

ここで「Bの座標は直胴部半径に等しい」という関係に着目すると、以下の関係があります。

$$D\cosΘ+0.1D(1-\cosΘ)=0.5D$$

ここから、

$$\cosΘ=\frac{4}{9},\sinΘ=\frac{\sqrt65}{9}$$

という関係が得られます。

R曲線のy切片と点Bのy座標の差\(h=D-D\sinΘ+0.1D\sinΘ\)に

\(\sinΘ=\frac{\sqrt65}{9}\)を代入して

$$h=0.194D$$

という関係が得られます。

鏡板の容積

鏡板の容積の計算は、計算概念のみ示します。

容積計算は積分

$$\int_{y1}^{y2}\pi x^2dy+\int_{y2}^{y3}\pi x^2dy$$

から導出します。

項を2つに分けているのは当然ながら、R曲線とr曲線があるからです。

R曲線とr曲線はそれぞれ以下の関係があります。

$$x^2+y^2=R^2$$

$$(x-0.9D\cosΘ)^2+(y-0.9D\sinΘ)^2=r^2$$

ここからxについて式を変形して解けば、導出されます。

さすがにこの計算は学生時代までが限界ですね。

最後に

10%皿型鏡板の形状解析紹介しました。

R=D,r=0.1Dからh=0.194Dという鏡高さを導出する方法を紹介しています。

鏡の容積を計算する数式の紹介もしています。

この記事が皆さんのお役に立てれば嬉しいです。

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